泰勒展开式

1. 指数函数 $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x) $$

2. 正弦函数 $$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2k+1}(x) $$

3. 余弦函数 $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + R_{2k}(x) $$

4. 自然对数函数 $$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + R_n(x) \quad (|x| < 1) $$

5. 几何级数（绝对值级数） $$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + R_n(x) \quad (|x| < 1) $$ $$ \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + R_n(x) \quad (|x| < 1) $$

6. 二项式展开 \(\alpha \in \mathbb{R}\) 公式： $$ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots \quad (|x| < 1) $$ 常见特例：

   • \[ \sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \cdots \]
   • \[ \frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \cdots \]

7. 反正切函数 $$ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \quad (|x| \leq 1) $$

8. 反正弦函数 $$ \arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \cdots \quad (|x| \leq 1) $$